a) Xét $ΔABD$ và $ΔHBD$:
$BD$ chung
$BAD=BHD=90^o$
$ABD=HBD$ ($BD$ là phân giác $B$)
⇒ $ΔABD=ΔHBD$ (cạnh huyền-góc nhọn)
⇒ $AD=HD$ (2 cạnh tương ứng)
b) Xét $ΔBKC$:
$CA$ và $KH$ là đường cao của $BK$ và $BC$
mà $CA∩KH≡D$
⇒ $D$ là trực tâm $ΔBKC$
c) Xét $ΔADK$ và $ΔHDC$:
$AD=HD$ (cmt)
$KAD=CHD=90^o$
$ADK=HDC$ (đối đỉnh)
⇒ $ΔADK=ΔHDC$ (g-c-g)
⇒ $KA=HC$ (2 cạnh tương ứng) mà $AB=HB$ ($ΔABD=ΔHBD$)
⇒ $AB+KA=HB+HC$ hay $BK=BC$
⇒ $ΔBKC$ cân
c) Giả sử: $BH∩AC≡E$ mà $D$ là trực tâm ⇒ $BD$ hay $BE$ là đường cao $KC$
$ΔBKC$ cân tại $B$ mà $BE$ là phân giác $B$
⇒ $BE$ là trung trực $KC$
⇒ $KE=CE$
Áp dụng bất đẳng thức Δ vào $ΔKAD$:
$AD+AK>KD$ (1)
Xét $ΔKDE$:
$KD>KE$ (cạnh huyền>cạnh góc vuông) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ $AD+AK>KE$
⇒ $2(AD+AK)>2.KE$
⇒ $2(AD+AK)>KC$
