Đáp án: $ \sqrt[3]{3 + \sqrt[]{9 + \frac{125}{27}} } - \sqrt[3]{- 3 + \sqrt[]{9 + (\frac{5}{3})³} } = 1$
Giải thích các bước giải:
Đặt $ a = 3 + \sqrt[]{9 + \frac{125}{27}} = 3 + \sqrt[]{9 + (\frac{5}{3})³} $
$ b = - 3 + \sqrt[]{9 + \frac{125}{27}} = - 3 + \sqrt[]{9 + (\frac{5}{3})³} $
$ ⇒ a - b = 6; ab = (\frac{5}{3})³ ⇒ 3\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} = 5$
$ A = \sqrt[3]{3 + \sqrt[]{9 + \frac{125}{27}} } - \sqrt[3]{- 3 + \sqrt[]{9 + (\frac{5}{3})³} } = \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}$
$ A³ = (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})³ = (\sqrt[3]{a})³ - (\sqrt[3]{b})³ - 3\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})$
$ = a - b - 5(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}) = 6 - 5A$
$ ⇔ A³ + 5A - 6 = 0 ⇔ (A - 1)(A² + A + 6) = 0$
$ ⇔ A - 1 = 0 ⇔ A = 1$ (vì $A² + A + 6 = (A + \frac{1}{2})² + \frac{23}{4} > 0$)
