Cách 1:
Ta thấy ở mẫu số:
`1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+101)`
`=1+1+2+1+2+3+...+1+2+3+...+101`
Ta thấy dãy số trên có tất cả `101` cặp số, vì từ cặp số ban đầu là `1` rồi `+2...` cứ như thế `101` thì có tất cả `101` cặp số.
Như vậy ta có thể ghép dãy số:
`=1+1+2+1+2+3+...+1+2+3+...+101`
`=(1+1+...+1)+(2+2+...+2)+(3+3+...+3)+...+101` (số càng lớn thì số các số hạng trong ngoặc sẽ càng giảm.
`= 101×1+2×100+3×99+...101×1`
Như vậy trên tử số sẽ giống mẫu số ta rút gọn phân số đó bằng `1.`
Cách 2:
Ta tách trên tử số `101` số `1` thành `101` số `1`, tương tự với các số còn lại:
` 101×1+2×100+3×99+...101×1`
`=(1+1+...+1)+(2+2+...+2)+(3+3+...+3)+...+101.`
Dãy số trên có `101` số `1`, `100` số `2`, `99` số `3`, ... và `1` số `101.`
`(1+1+...+1)+(2+2+...+2)+(3+3+...+3)+...+101`
`=1+1+...+1+2+2+...+2+3+3+...+3+...+101`
`=(1+2+3+...+101)+(1+2+3+...+100)+...+(1+2+3)+(1+2)+1.`
Như vậy trên tử số sẽ giống mẫu số ta rút gọn phân số đó bằng `1.`
