a) Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$\Rightarrow AB^2 = BC^2 - AC^2 = 8^2 - (4\sqrt{3})^2 = 16$
$\Rightarrow AB = \sqrt{16} = 4 \, cm$
b) Xét $ΔDAC$ và $ΔDEB$ có:
$\widehat{D}:$ góc chung
$\widehat{BAC} = \widehat{BEC} = 90^o$
Do đó $ΔDAC \sim ΔDEB \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{DA}{DE} = \dfrac{DC}{DB}$
$\Rightarrow DA.DB=DE.DC$
c) Xét $ΔDBC$ có:
$AC\perp DB \, (AC\perp AB)$
$BE\perp DC \, (gt)$
$H = AC\cap BE$
$\Rightarrow H$ là trực tâm của $ΔDBC$
$\Rightarrow DH\perp BC$
Ta có: $ΔDAC \sim ΔDEB \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{DA}{DE} = \dfrac{DC}{DB}$
$\Leftrightarrow \dfrac{DA}{DC} = \dfrac{DE}{DB}$
Xét $ΔDAE$ và $ΔDCB$ có:
$\dfrac{DA}{DC} = \dfrac{DE}{DB}$
$\widehat{D}:$ góc chung
Do đó $ΔDAE\sim ΔDCB \, (c.g.c)$
$\Rightarrow \dfrac{DA}{DC} = \dfrac{AE}{BC}$
$\Rightarrow AE = \dfrac{DA.BC}{DC} = \dfrac{AC.BC}{AC\sqrt{2}}= \dfrac{BC\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \, cm$
