Bài 1:
Từ $A$ kẻ $AK\perp AF$ cắt $CD$ tại $K$
Xét $∆ADK$ và $∆ABE$ có:
$\widehat{B} = \widehat{D} = 90^o \, (gt)$
$\widehat{KAD} = \widehat{BAE}$ (cùng phụ $\widehat{DAE}$)
Do đó $∆ADK\sim ∆ABE \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AK}{AE} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow AK = \dfrac{1}{2}AE$
Áp dụng hệ thức lượng vào $∆AKF$ vuông tại $A$ đường cao $AD$ ta được:
$\dfrac{1}{AD^2} = \dfrac{1}{AK^2} + \dfrac{1}{AF^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2} = \dfrac{1}{\left(\dfrac{AE}{2}\right)^2} + \dfrac{1}{AF^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{4}{AB^2} = \dfrac{4}{AE^2} + \dfrac{1}{AF^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{AB^2} = \dfrac{1}{AE^2} + \dfrac{1}{4AF^2}$
Bài 2:
Gọi $E$ là điểm đối xứng với $C$ qua $A$
Ta được: $AB = AC = AE$
và $C, A, E$ thẳng hàng (cách dựng)
$\Rightarrow ∆BEC$ vuông tại $B$
$\Rightarrow BE\perp BC$
mà $AH\perp BC$
$\Rightarrow AH//BE$
Ta lại có: $AE= AC$
$\Rightarrow AH = \dfrac{1}{2}BE$ (tính chất đường trung bình)
Áp dụng hệ thức lượng vào $∆BEC$ vuông tại $B$ đường cao $BK$ ta được:
$\dfrac{1}{BK^2} = \dfrac{1}{BE^2} + \dfrac{1}{BC^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{BK^2} = \dfrac{1}{4AH^2} + \dfrac{1}{BC^2}$
