a) Xét hình thang $ABCD$:
$ADC=BCD$
⇒ $ABCD$ là hình thang cân
⇒ $AD=BC$
b) $AB//CD$ mà $H,K∈CD$
⇒ $AB//HK$ (1)
$AH⊥CD$, $BK⊥CD$
⇒ $AH//BK$ (2)
Từ (1), (2) ⇒ $ABHK$ là hình bình hành
mà $AHK=BKH=90^o$
⇒ $ABHK$ là hình chữ nhật
⇒ $AB=HK$
c) Xét $ΔDAC$ và $ΔCBD$:
$CD$ chung
$AD=BC$ (cmt)
$ADC=BCD$ (gt)
⇒ $ΔDAC=ΔCBD$ (c-g-c)
⇒ $AC=BD$ (2 cạnh tương ứng)
d) Xét $ΔAHD$ và $ΔBKC$:
$AD=BC$ (cmt)
$ADC=BCD$ (gt)
$DHA=CKB=90^o$
⇒ $ΔAHD=ΔBKC$ (cạnh huyền-góc nhọn)
⇒ $DH=KC$ (2 cạnh tương ứng)
$AB=HK$ ⇒ $HK=4cm$
Ta có:
$DH+HK+CK=CD$
$DH+4+CK=14cm$
$2DH=10cm$
⇒ $DH=5cm$
⇒ $DK=DH+HK=5+4=9$
Áp dụng định lý Pytago vào $ΔBKC$ vuông tại $K$
⇒ $BK=\sqrt{BC^2-KC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12cm$
Áp dụng định lý Pytago vào $ΔDBK$ vuông tại $K$:
⇒ $BD=\sqrt{DK^2+BC^2}=\sqrt{9^2+13^2}=\sqrt{81+169}=\sqrt{250}=5\sqrt{10}cm$
