Đáp án:
$-6 < m < 2$
Giải thích các bước giải:
$y = 2x^3 + 3mx^2 - m - 6$
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng một điểm
$\Leftrightarrow 2x^3 + 3mx^2 - m - 6 = 0 \, (*)$ có nghiệm duy nhất
$(*) \Leftrightarrow m = \dfrac{-2x^3 + 6}{3x^2 - 1}$
Xét $f(x) = \dfrac{-2x^3 + 6}{3x^2 - 1}$
$TXĐ: D = R\backslash \left\{\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right\}$
$\Rightarrow f'(x) = \dfrac{-6x^4 + 6x^2 - 36x}{(3x^2 -1)^2}, \forall x \in D$
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^4 - x^2 + 6x = 0 \Leftrightarrow x(x+2)(x^2 - 2x + 3) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x=-2\end{array}\right.$
Bảng biến thiên của $f(x):$
$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty & & -2 & & && -\dfrac{\sqrt{3}}{3} & && &0 &&&\dfrac{\sqrt{3}}{3} & && +\infty\\
\hline
y' & & - & 0& &+&& || &&+ && 0&&-&||&& - &\\
\hline
&+\infty&&&&&+\infty&||&&&&-6&&&||&+\infty\\
y & &\searrow&& &\nearrow&& || && \nearrow&&&\searrow&&||&&\searrow\\
&&&2&&&&||&-\infty&&&&&-\infty&||&&&-\infty\\
\hline
\end{array}$
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy, phương trình $(*)$ có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow -6 < m < 2$
