Giải thích các bước giải:
B3:
a) ĐKXĐ: $-1<a<1$
Ta có:
$\begin{array}{l}
Q = \left( {\dfrac{3}{{\sqrt {1 + a} }} + \sqrt {1 - a} } \right):\left( {\dfrac{3}{{\sqrt {1 - {a^2}} }} + 1} \right)\\
= \dfrac{{3 + \sqrt {1 - {a^2}} }}{{\sqrt {1 + a} }}:\dfrac{{3 + \sqrt {1 - {a^2}} }}{{\sqrt {1 - {a^2}} }}\\
= \dfrac{{\sqrt {1 - {a^2}} }}{{\sqrt {1 + a} }}\\
= \sqrt {1 - a}
\end{array}$
Vậy $Q = \sqrt {1 - a} $ với $-1<a<1$
b) Ta có:
$a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$ thỏa mãn ĐKXĐ khi đó: $Q = \sqrt {1 - a} = \sqrt {1 - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} = \dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{2}$
B4:
a) ĐKXĐ: $1\le x\le 9$
Ta có:
$\begin{array}{l}
+ )A = \sqrt {9 - x} + \sqrt {x - 1} \\
\Rightarrow {A^2} = 9 - x + 2\sqrt {9 - x} .\sqrt {x - 1} + x - 1\\
= 8 + 2\sqrt {9 - x} .\sqrt {x - 1}
\end{array}$
Mà: $2\sqrt {9 - x} .\sqrt {x - 1} \ge 0,\forall 1 \le x \le 9$
$ \Rightarrow {A^2} \ge 8 \Rightarrow A \ge \sqrt 8 = 2\sqrt 2 \Rightarrow MinA = 2\sqrt 2 $
Dấu bằng xảy ra
$2\sqrt {9 - x} .\sqrt {x - 1} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {9 - x} = 0\\
\sqrt {x - 1} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 9\\
x = 1
\end{array} \right.$
Vậy $MinA = 2\sqrt 2 $ khi $x\in \{1;9\}$
+)
$\begin{array}{l}
A = \sqrt {9 - x} + \sqrt {x - 1} \\
\Rightarrow {A^2} = {\left( {\sqrt {9 - x} + \sqrt {x - 1} } \right)^2}\\
= {\left( {1.\sqrt {9 - x} + 1.\sqrt {x - 1} } \right)^2}\\
\le \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\left( {\sqrt {9 - x} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^2}} \right)\left( {Bunhiacopski} \right)\\
= 16\\
\Rightarrow A \le 4\\
\Rightarrow MaxA = 4
\end{array}$
Dấu bằng xảy ra
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {9 - x} }}{1} = \dfrac{{\sqrt {x - 1} }}{1} \Leftrightarrow \sqrt {9 - x} = \sqrt {x - 1} \Leftrightarrow x = 5$
Vậy $MaxA = 4 \Leftrightarrow x = 5$
b) ĐKXĐ: $x\ge 1$
Ta có:
$\begin{array}{l}
\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } = 2\\
\Leftrightarrow \sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 1} + 1} + \sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 1} + 1} = 2\\
\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}} = 2\\
\Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 1} + 1} \right| + \left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right| = 2\\
\Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 1} + 1} \right| + \left| {1 - \sqrt {x - 1} } \right| = 2 (1)
\end{array}$
Áp dụng BĐT: $\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|$ ta có:
$\left| {\sqrt {x - 1} + 1} \right| + \left| {1 - \sqrt {x - 1} } \right| \ge \left| {\sqrt {x - 1} + 1 + 1 - \sqrt {x - 1} } \right| = 2(2)$
Từ 1), (2) suy ra dấu bằng xảy ra
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)\left( {1 - \sqrt {x - 1} } \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow 1 - \sqrt {x - 1} \ge 0\\
\Leftrightarrow \sqrt {x - 1} \le 1\\
\Leftrightarrow x \le 2
\end{array}$
Kết hợp với ĐKXĐ ta có: $1 \le x \le 2$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Vậy $1 \le x \le 2$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
