Vì n \(\in\) N => \(\left\{{}\begin{matrix}6n-3\in Z\\6n-3e0\\4n-6\in Z\\4n-6e0\end{matrix}\right.\)

=> M là phân số

Ta có :

M = \(\dfrac{6n-3}{4n-6}\)

=> 2M = \(\dfrac{2\left(6n-3\right)}{4n-6}=\dfrac{2\left(6n-3\right)}{2\left(2n-3\right)}=\dfrac{6n-3}{2n-3}=\dfrac{6n-3-6+6}{2n-3}=\dfrac{6n-\left(3+6\right)+6}{2n-3}=\dfrac{6n-9}{2n-3}+\dfrac{6}{2n-3}=3+\dfrac{6}{2n-3}\)Vì M lớn nhất => 2M lớn nhất

=> \(3+\dfrac{6}{2n-3}\) lớn nhất
=> \(\dfrac{6}{2n-3}\)lớn nhất

=> \(\dfrac{6}{2n-3}\) > 0 và lớn nhất

=> 2n - 3 > 0 và nhỏ nhất ( vì 6 > 0 )

Vì n \(\in\) N => \(\left\{{}\begin{matrix}2n-3\in Z\\2n-3e0\\\left(2n-3\right)⋮̸2\end{matrix}\right.\)

=> 2n - 3 là số nguyên dương nhỏ nhất không chia hết cho 2

=> 2n - 3 = 1

=> 2n = 3 + 1

=> 2n = 4

=> n = 4 : 2

=> n = 2

Khi đó : M = \(\dfrac{6.2-3}{4.2-6}=\dfrac{9}{2}=4,5\)

Vậy n = 2 thì M có giá trị lớn nhất là 4,5