Đáp án:

 `m=1`

Giải thích các bước giải:

Ta có phương trình có hai nghiệm `x_1,x_2` `⇔ Δ'≥0`

`⇔ (m+1)^2-(m^2+2)≥0`

`⇔ m≥1/2` $(*)$

Theo Viet ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=2m+2 \\x_1x_2=m^2+2\end{cases}$

Ta có: `|x_1^4-x_2^4|=|(x_1^2+x_2^2)(x_1^2-x_2^2)|`

`=[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]|x_1-x_2||x_1+x_2|`

Mà `|x_1-x_2|=\sqrt[(x_1-x_2)^2]=\sqrt[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]=\sqrt[(2m+2)^2-4(m^2+2)]=\sqrt[8m-4]`

Suy ra: 

`|x_1^4-x_2^4|=[(2m+2)^2-2(m^2+2)]\sqrt[8m-4].|2m+2|`

`=(2m^2+8m)\sqrt[8m-4].|2m+2|`

Theo đề bài: `|x_1^4-x_2^4|=16m^2+64m`

`⇔` `(2m^2+8m)\sqrt[8m-4].|2m+2|=16m^2+64m`

`⇔ (m^2+4m)(\sqrt[8m-4].|2m+2|-8)=0`

`⇔` \(\left[ \begin{array}{l}m^2+4m=0 &(1)\\\sqrt[]{8m-4}.|2m+2|=8 &(2)\end{array} \right.\)

Ta có: `(1) ⇔ ` \(\left[ \begin{array}{l}m=0\\m=-4\end{array} \right.\) $\text{(loại)}$

`(2) ⇔ (8m-4)(2m+2)^2=64`

`⇔32m^3+48m^2-80=0`

`⇔ m=1` $(\text{thỏa mãn (*)})$

Vậy `m=1` thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: $ m = 1$

Giải thích các bước giải:

$ x² - 2(m + 1)x + m² + 2 = 0 (*)$

$ Δ' = (m + 1)² - (m² + 2) = 2m - 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ \frac{1}{2} (1)$ 

 Với điều kiện $(1)$ thì $(*)$ có 2 nghiệm pb $x_{1}; x_{2}$ thỏa:

$x_{1} + x_{2} = 2(m + 1) > 0 (3); x_{1}x_{2} = m² + 2 > 0 (4)$

Không mất tổng quát từ $: (3); (4) ⇒ 0 < x_{2} < x_{1}$

$ ⇒ |x_{1}^{4} - x_{2}^{4}| = x_{1}^{4} - x_{2}^{4} = (x_{1}² - x_{2}²)(x_{1}² + x_{2}²)$

$ = (x_{1} - x_{2})(x_{1} + x_{2})[(x_{1} + x_{2})² - 2x_{1}x_{2}]$

$ = (x_{1} - x_{2}).2(m + 1)[4(m + 1)² - 2(m² + 2)] $

$ = 4m(m + 4)(m + 1)(x_{1} - x_{2})$

Theo gt $: 4m(m + 4)(m + 1)(x_{1} - x_{2}) = 16m² + 64m$

$ ⇔ (m + 1)(x_{1} - x_{2}) = 4$ ( vì $m ≥ \frac{1}{2}$)

$ ⇔ (m + 1)²(x_{1} - x_{2})² = 16$

$ ⇔ (m + 1)²[(x_{1} + x_{2})² - 4x_{1}x_{2}] = 16$

$ ⇔ (m + 1)²[4(m + 1)² - 4(m² + 2)] = 16$

$ ⇔ 4(m + 1)²(2m - 1) = 16$

$ ⇔ (m - 1)(2m² + 5m + 5) = 0 ⇔ m = 1$