Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Giả sử $\sqrt{2}$ là số hữu tỉ.
`⇒\sqrt{2}=\frac{a}{b}` $(a;nb∈Z;(a;b)=1;b\neq0)$
`⇒\frac{a^2}{b^2}=2`
$⇒a^2=2b^2(*)$
Do $b∈Z⇒b^2∈N$
$⇒2b^2\vdots2$
$⇒a^2\vdots2$
$⇒a\vdots2$
Đặt $a=2k(k∈Z)$
Thay $a=2k$ vào $(*)$ ta được:
$(2k)^2=2b^2$
$⇒4k^2=2b^2$
$⇒2k^2=b^2$
Do $k∈Z⇒k^2∈N$
$⇒2k^2\vdots2$
$⇒b^2\vdots2$
$⇒b\vdots2$
Như vậy $a;b$ có 1 ước chung là 2; trái với giả thiết $(a;b)=1$
Như vậy, phản chứng ban đầu là sai, hay $\sqrt{2}$ là số vô tỉ.
Ta có điều phải chứng minh.
