Đáp án:
$c) \, V_{ABC.A'B'C'}= \dfrac{a^3\sqrt{2}}{16} \, (đvtt)$
$d) \, V_{ABC.A'B'C'} = \dfrac{a^3}{2} \, (đvtt)$
Giải thích các bước giải:
$c)$ Ta có:
$BB'\perp (ABC) \, (ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đứng $)$
$\Rightarrow BB.\perp BC$
mà $BC\perp BA \, (gt)$
$\Rightarrow BC\perp (BB'A)$
hay $BC\perp (AA'B'B)$
$\Rightarrow \widehat{(A'C;(AA'B'B))} = \widehat{BA'C} = 30^o$
$\Rightarrow A'B = A'C.cos30^o = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}; \, BC = BA = A'C.sin30^o = \dfrac{a}{2}$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$A'B^2 = AA' + BA^2$
$\Rightarrow AA' = \sqrt{A'B^2 - BA^2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Ta được:
$V_{ABC.A'B'C'} = S_{ABC}.AA' = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{2}\right)^2.\dfrac{a\sqrt{2}}{2} = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{16} \, (đvtt)$
$d)$ Áp dụng định lý PyTago, ta được:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$\Rightarrow BC = AB\sqrt{2} = a\sqrt{2}$
Ta có: $ΔAA'B = ΔAA'C$
$\Rightarrow A'B = A'C$
$\Rightarrow ΔA'BC$ cân tại $A'$
Gọi $M$ là trung điểm $BC$
$\Rightarrow \begin{cases}AM = MB = MC = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}\\A'M \perp BC\end{cases}$
Ta có: $S_{A'BC} = \dfrac{1}{2}A'M.BC$
$\Rightarrow A'M = \dfrac{2S_{A'BC}}{BC} = \dfrac{2.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{2}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
Do $AA'\perp (ABC) \, (ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đứng $)$
nên $AA'\perp AM$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$A'M^2 = AA'^2 + AM^2$
$\Rightarrow AA' = \sqrt{A'M^2 - AM^2} = a$
Ta được:
$V_{ABC.A'B'C'} = S_{ABC}.AA' = \dfrac{1}{2}.a^2.a = \dfrac{a^3}{2} \, (đvtt)$
