Đáp án:
a) $(SAC)\perp (SBD)$
b) $\widehat{(SC;(SAB))} = 30^o$
c) $d(BD;SC) = \dfrac{a}{2}$
Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
$SA\perp (ABCD) \, (gt)$
$\Rightarrow SA\perp BD$
mà $BD\perp AC$ (hai đường chéo của hình vuông)
nên $BD\perp (SAC)$
Mặt khác: $BD \subset (SBD)$
nên $(SBD) \perp (SAC)$
b) Ta có:
$SA \perp (ABCD) \, (gt)$
$\Rightarrow SA\perp CB$
mà $CB\perp AB$ ($ABCD$ là hình vuông)
nên $CB\perp (SAB)$
$\Rightarrow \widehat{(SC;(SAB))} = \widehat{CSB}$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$SB^2 = SA^2 + AB^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$
$\Rightarrow SB = a\sqrt{3}$
$SC^2 = SB^2 + CB^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2$
$\Rightarrow SC = 2a$
Do $CB\perp (SAB)$
nên $CB\perp SB$
Xét $ΔSCB$ vuông tại $B$, có:
$tan\widehat{CSB} = \dfrac{CB}{SB} = \dfrac{a}{a\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$\Rightarrow \widehat{CSB} = 30^o$
Vậy $\widehat{(SC;(SAB))} = 30^o$
c) Gọi $O$ là tâm của đáy $ABCD$
$\Rightarrow AC = AB\sqrt{2} = a\sqrt{2}; \, OC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Từ $O$ kẻ $OI\perp SC \, (I\in SC)$
Ta có: $BD\perp (SAC)$ (chứng minh ở câu a)
$\Rightarrow BD\perp OI$
mà $OI\perp SC$ (cách dựng)
nên $OI = d(BD;SC)$
Xét $ΔSAC$ và $ΔOIC$ có:
$\widehat{C}:$ góc chung
$\widehat{SAC} = \widehat{OIC} =90^o$
Do đó $ΔSAC\sim ΔOIC \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{SA}{OI} = \dfrac{SC}{OC}$
$\Rightarrow OI = \dfrac{SA.OC}{SC} = \dfrac{a\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2a} = \dfrac{a}{2}$
