Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
a,\\
{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2} \ge 0,\,\;\;\;\forall x,y > 0\\
\Leftrightarrow x - 2\sqrt {xy} + y \ge 0,\,\;\;\;\forall x,y > 0\\
\Leftrightarrow x + y \ge 2\sqrt {xy} ,\,\;\;\;\forall x,y > 0\\
\Leftrightarrow \frac{{x + y}}{2} \ge \sqrt {xy} ,\,\;\;\;\forall x,y > 0
\end{array}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(x = y\)
b,
Ta có:
\(\begin{array}{l}
104 - \left( {\frac{{25}}{{\sqrt {x - 1} }} + \frac{4}{{\sqrt {y + 3} }} + \frac{{2025}}{{\sqrt {z - 24} }}} \right) = \sqrt {x - 1} + \sqrt {y + 3} + \sqrt {z - 24} \\
\Leftrightarrow \left( {\sqrt {x - 1} + \frac{{25}}{{\sqrt {x - 1} }}} \right) + \left( {\sqrt {y + 3} + \frac{4}{{\sqrt {y + 3} }}} \right) + \left( {\sqrt {z - 24} + \frac{{2025}}{{\sqrt {z - 24} }}} \right) = 104
\end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức \(x + y \ge 2\sqrt {xy} ,\,\,\,\forall x,y > 0\) ở câu a ta có:
\(\begin{array}{l}
\sqrt {x - 1} + \frac{{25}}{{\sqrt {x - 1} }} \ge 2.\sqrt {\sqrt {x - 1} .\frac{{25}}{{\sqrt {x - 1} }}} = 2.\sqrt {25} = 10\\
\sqrt {y + 3} + \frac{4}{{\sqrt {y + 3} }} \ge 2\sqrt {\sqrt {y + 3} .\frac{4}{{\sqrt {y + 3} }}} = 2.\sqrt 4 = 4\\
\sqrt {z - 24} + \frac{{2025}}{{\sqrt {z - 24} }} \ge 2.\sqrt {\sqrt {z - 24} .\frac{{2025}}{{\sqrt {z - 24} }}} = 2.\sqrt {2025} = 90\\
\Rightarrow \left( {\sqrt {x - 1} + \frac{{25}}{{\sqrt {x - 1} }}} \right) + \left( {\sqrt {y + 3} + \frac{4}{{\sqrt {y + 3} }}} \right) + \left( {\sqrt {z - 24} + \frac{{2025}}{{\sqrt {z - 24} }}} \right) \ge 10 + 4 + 90 = 104
\end{array}\)
Do đó, dấu '=' ở các bất đẳng thức trên phải xảy ra, hay:
\(\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x - 1} = \frac{{25}}{{\sqrt {x - 1} }}\\
\sqrt {y + 3} = \frac{4}{{\sqrt {y + 3} }}\\
\sqrt {z - 24} = \frac{{2025}}{{\sqrt {z - 24} }}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 26\\
y = 1\\
z = 2049
\end{array} \right.\)
