a) Áp dụng định lý Pytago vào $ΔABC$ vuông tại $A$:
$⇒BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5cm$
Xét $ΔABD$ và $ΔHBD$:
$BD:chung$
$\widehat{ABD}=\widehat{HBD}$ (BD là phân giác)
$\widehat{BAD}=\widehat{BHD}=90^o$
$⇒ΔABD=ΔHBD(CH_GN)$
b) $ΔABD=ΔHBD$
$⇒AD=HD$
Xét $ΔDHC$ vuông tại $H$:
$DC>HD$ (cạnh huyền>cạnh góc vuông)
mà $AD=HD$
$⇒DC>AD$
c) Xét $ΔADE$ và $ΔHDC$:
$\widehat{DAE}=\widehat{DHC}=90^o$
$AD=HD(cmt)$
$\widehat{ADE}=\widehat{HDC}$ (đối đỉnh)
$⇒ΔADE=ΔHDC(g-c-g)$
$⇒DE=DC$ (2 cạnh tương ứng)
$⇒ΔDEC$ cân tại $D$
d) $ΔADE=HDC$
$⇒AE=HC$ (2 cạnh tương ứng)
mà $BA=BH$ (ΔABD=HBD)
$⇒BA+AE=BH+HC$ hay $BE=BC$
$⇒ΔBEC$ cân tại $B$
mà $BD$ là phân giác $\widehat{B}$
$⇒BD$ là trung trực $EC$