a) Ta có: $MB = MC\, (gt)$
$NA = NC \, (gt)$
$\Rightarrow MN$ là đường trung bình
$\Rightarrow MN//AB; \, MN = \dfrac{AB}{2}$
$\Rightarrow \widehat{MNC} = \widehat{BAC}$ (đồng vị)
mà $\widehat{MNC} + \widehat{ONM} = \widehat{ONC} = 90^o$
và $\widehat{BAC} + \widehat{HBA} = 90^o$
nên $\widehat{ONM} = \widehat{HBA}$
Chứng minh tương tự, ta được: $\widehat{OMN} = \widehat{HAB}$
Xét $ΔOMN$ và $ΔHAB$ có:
$\widehat{ONM} = \widehat{HBA}$ $(cmt)$
$\widehat{OMN} = \widehat{HAB}$ $(cmt)$
Do đó $ΔOMN\sim ΔHAB \, (g.g)$
b) Ta có: $ΔOMN\sim ΔHAB$ (câu a)
$\Rightarrow \dfrac{OM}{AH} = \dfrac{MN}{AB} = \dfrac{1}{2}$
Ta lại có: $\dfrac{GM}{GA} = \dfrac{1}{2}$ (tính chất trọng tâm)
nên $\dfrac{OM}{AH} = \dfrac{GM}{GA} = \dfrac{1}{2}$
Mặt khác, $OM\perp BC$
$AH\perp BC$
$\Rightarrow AH//OM$
$\Rightarrow \widehat{HAG} = \widehat{OMG}$ (so le trong)
Xét $ΔGOM$ và $ΔGHA$ có:
$\dfrac{OM}{AH} = \dfrac{GM}{GA} \, (cmt)$
$\widehat{HAG} = \widehat{OMG} \, (cmt)$
Do đó $ΔGOM\sim ΔGHA \, (c.g.c)$
c) Ta có: $ΔGOM\sim ΔGHA$ (câu b)
$\Rightarrow \dfrac{OG}{HG} = \dfrac{GM}{GA} = \dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow GH = 2OG$
Ta cũng có: $\widehat{OGM} = \widehat{HGA}$ (hai góc tương ứng)
mà $A, G, M$ thẳng hàng
nên $H, G, O$ thẳng hàng
