Đáp án:

Giải thích các bước giải:

15) Ta có $ BĐT : 2(a² + b²) ≥ (a + b)² (1)$

$ a + b > 2 ⇒ (a + b)² > 2(a + b) (2)$

$ (1); (2) ⇒ 2(a² + b²) > 2(a + b) ⇔ a² + b² - (a + b) > 0$

$Δ'_{1} + Δ'_{2} = (a² - b) + (b² - a) = a² + b² - (a + b) > 0$ 

$ ⇒$ ít nhất $Δ'_{1} > 0$ hoặc $ Δ'_{2} > 0 (đpcm)$

16) Theo Viet:

$ a = x_{1} + x_{2} ⇒ a² = x_{1}² + x_{2}² + 2x_{1}x_{2}$ 

$ b + 1 = x_{1}x_{2} ⇒ b = x_{1}x_{2} - 1 ⇒ b² = x_{1}²x_{2}² - 2x_{1}x_{2} + 1$

$ ⇒ a² + b² = x_{1}²x_{2}² + x_{1}² + x_{2}² + 1 = (x_{1}² + 1)(x_{2}² +1) (đpcm)$

Bài 2 công nhận hơi khó, tham khảo cách giải

$HPT ⇔ \left \{ {{2\sqrt[]{xy} - \frac{\sqrt[]{xy} }{2x + y} = 2\sqrt[]{x} (1) } \atop {2\sqrt[]{xy} + \frac{\sqrt[]{xy} }{2x + y} = 2\sqrt[]{y} (2)}} \right. ⇔ \left \{ {{ (1) + (2) : \sqrt[]{y} + \sqrt[]{x} = 2\sqrt[]{xy} (3) } \atop { (2) - (1): \sqrt[]{y} - \sqrt[]{x} = \frac{\sqrt[]{xy} }{2x + y} (4)}} \right. ⇔ \left \{ {{ \sqrt[]{y} + \sqrt[]{x} = 2\sqrt[]{xy}} \atop { (3).(4) : y - x = \frac{2xy}{2x + y}}} \right. $

$ ⇔ \left \{ {{ \sqrt[]{y} + \sqrt[]{x} = 2\sqrt[]{xy}} \atop {xy - 2x² + y² = 2xy }} \right. ⇔ \left \{ {{ \sqrt[]{y} + \sqrt[]{x} = 2\sqrt[]{xy}} \atop {(x + y)(2x - y) = 0 }} \right. ⇔ \left \{ {{ \sqrt[]{y} + \sqrt[]{x} = 2\sqrt[]{xy}} \atop {y = 2x}} \right. $ 

$ ⇔ \left \{ {{ \sqrt[]{2x} + \sqrt[]{x} = 2\sqrt[]{2x²}} \atop {y = 2x}} \right. ⇔ \left \{ {{ x = (\frac{\sqrt[]{2} +1}{2\sqrt[]{2}})²} \atop {y = 2x}} \right.⇔ \left \{ {{ x = \frac{3 + 2\sqrt[]{2}}{8}}\atop {y = \frac{3 + 2\sqrt[]{2}}{8}}} \right.$