a) Xét tứ giác $AKBC$ có:
$\widehat{BKC} = \widehat{BAC} = 90^o$
Do đó $AKBC$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{AKC} = \widehat{ABC}$
Ta lại có: $\widehat{ABC} = \widehat{HAC}$ (cùng phụ $\widehat{HAB}$)
nên $\widehat{AKC} = \widehat{HAC}$
hay $\widehat{AKC} = \widehat{IAC}$
Xét $∆CIA$ và $∆CAK$ có:
$\widehat{C}:$ góc chung
$\widehat{AKC} = \widehat{IAC} \, (cmt)$
Do đó $∆CIA \sim ∆CAK \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{CI}{CA} = \dfrac{CA}{CK}$
$\Rightarrow CA^2 = CI.CK$b
b) Ta có: $D$ đối xứng với $A$ qua $H$ $(gt)$
$\Rightarrow BC$ là trung trực của $AD$
$\Rightarrow \widehat{ABH} = \widehat{BDH}$ $(1)$
Do $BC$ là trung trực của $AD$ ta cũng được:
$AB = DB$
$AC = DC$
$\Rightarrow ∆ABC = ∆DBC \, (c.c.c)$
$\Rightarrow \widehat{A} = \widehat{D} = 90^o$
$\Rightarrow BDCK$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{DKC} = \widehat{DBC}$ $(2)$
Mặt khác: $\widehat{AKC} = \widehat{ABC}$ ($AKBC$ nội tiếp) $(3)$
$(1)(2)(3) \Rightarrow \widehat{AKC} = \widehat{DKC}$
$\Rightarrow KC$ là phân giác của $\widehat{AKD}$
