Đặt 3n+n2=a23n+n2=a2 (1) với aa là số nguyên dương . Dễ thấy a≠na≠n
Suy ra (a−n)(n+a)=3n(a−n)(n+a)=3n (1)
Xét n=0n=0 thì thỏa
Từ đó ta có : {a−n=3xa+n=3n−x(2){a−n=3xa+n=3n−x(2) với x,yx,y là số nguyên dương
Vì a−n<a+na−n<a+n suy ra n−2x≥1n−2x≥1
Trường hợp 1 : Xét n=2x+1n=2x+1
Suy ra 2n=3x.(3n−2x−1)=2.3x2n=3x.(3n−2x−1)=2.3x vì vậy n=2x+1=3xn=2x+1=3x
Ta có 3x=(1+2)x=1+2x+22.C2x+..>2x+13x=(1+2)x=1+2x+22.Cx2+..>2x+1 do đó x=0x=0 hoặc x=1x=1 do đó n=1n=1 hoặc n=3n=3
Trường hợp 2 : n−2x>1n−2x>1 thì n−2x≥2n−2x≥2 và x≠n−x−2x≠n−x−2 suy ra 3x≤3n−x−23x≤3n−x−2
Khi đó 2n=3n−x−3x≥3n−x−2.(32−1)=8.3n−x−2≥8.[1+2(n−x−2)]=16n−16k−242n=3n−x−3x≥3n−x−2.(32−1)=8.3n−x−2≥8.[1+2(n−x−2)]=16n−16k−24
⇔8x+12≥7n≥7(2k+2)⇔8x+12≥7n≥7(2k+2) (vô lí)
Vậy n∈{0,1,3}n∈{0,1,3}
