Sau một tiếng ngồi làm thì mình nhận ra đề bài với lời gợi ý là hai phương trình không tương đương, vì vậy đề sai, sửa lại như sau:
Cho các số thực `a,b∈[0;1]`, chứng minh rằng:
`1/(1+a+b)≤1-(a+b)/2+(ab)/3`
`⇔1-(a+b)/2+(ab)/3-1/(1+a+b)≥0`
`⇔(6(1+a+b)-3(a+b)(1+a+b)+2ab(1+a+b)-6)/(6(1+a+b))≥0`
mà `6(1+a+b)>0` do `a,b∈[0;1]`
`⇒6(1+a+b)-3(a+b)(1+a+b)+2ab(1+a+b)-6≥0`
`⇔6+6a+6b-3a-3b-3ab-3ab-3a^2-3b^2+2ab+2a^2b+2ab^2-6≥0`
`⇔2a^2b+2ab^2-3a^2-3b^2-4ab+3a+3b≥0`
`⇔2ab-a^2b-ab^2+3a-3a^2-3ab+3a^2b+3b-3ab-3b^2+3ab^2≥0`
`⇔ab(2-a-b)+a(3-3a)-ab(3-3a)+b(3-3a)-b^2(3-3a)≥0`
`⇔ab(2-a-b)+(a-ab+b-b^2)(3-3a)≥0`
`⇔ab(2-a-b)+[a(1-b)+b(1-b)](1-a).3≥0`
`⇔ab(2-a-b)+(a+b)(1-b)(1-a).3≥0`
Vì `a,b∈[0;1]` nên `1-a≥0;1-b≥0;a+b≥0;2-a-b≥0 `
`⇒đpcm`
