Đáp án:

 a) $y =  - {x^2} + x - 3$

c) $\mathop {Max}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} y = \dfrac{{ - 11}}{4};\mathop {Min}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} y =  - 3$

d) $m \le \dfrac{{ - 11}}{8}$

Giải thích các bước giải:

 a) Ta có: 

Đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$ đi qua $A\left( {1; - 3} \right)$ và có đỉnh $I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{{ - 11}}{4}} \right)$

Khi đó ta có hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}
a + b + c =  - 3\\
\dfrac{{ - b}}{{2a}} = \dfrac{1}{2}\\
\dfrac{1}{4}a + \dfrac{1}{2}b + c = \dfrac{{ - 11}}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + b + c =  - 3\\
a + b = 0\\
a + 2b + 4c =  - 11
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 1\\
b = 1\\
c =  - 3
\end{array} \right.$

Vậy hàm số thỏa mãn đề là: $y =  - {x^2} + x - 3$

b) Vẽ đồ thị:

Đồ thị hàm số $y =  - {x^2} + x - 3$ có:

+) Đỉnh $I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{{ - 11}}{4}} \right)$

+) Trục đối xứng: $x = \dfrac{1}{2}$

+) Đi qua điểm: $A\left( {1; - 3} \right)$; $B\left( {0; - 3} \right);C\left( {1; - 3} \right);D\left( {2; - 5} \right)$

Ta vẽ được đồ thị như bên dưới.

c) Ta có:

Dựa vào hình vẽ ta thấy:

$\mathop {Max}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} y = y\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{{ - 11}}{4};\mathop {Min}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} y = y\left( 0 \right) = y\left( 1 \right) =  - 3$

Vậy $\mathop {Max}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} y = \dfrac{{ - 11}}{4};\mathop {Min}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} y =  - 3$

d) Ta có:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $y=2m$ và đồ thị hàm số $y =  - {x^2} + x - 3$

là: $\begin{array}{l}
 - {x^2} + x - 3 = 2m\\
 \Leftrightarrow {x^2} - x + 2m + 3 = 0\left( 1 \right)
\end{array}$

Để đường thẳng $y=2m$ cắt đồ thị hàm số $y =  - {x^2} + x - 3$ khi và chỉ khi phương trình $(1)$ có nghiệm:

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \Delta  \ge 0\\
 \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.\left( {2m + 3} \right) \ge 0\\
 \Leftrightarrow 2m + 3 \le \dfrac{1}{4}\\
 \Leftrightarrow m \le \dfrac{{ - 11}}{8}
\end{array}$

Vậy $m \le \dfrac{{ - 11}}{8}$ thỏa mãn đề.