(Điều kiện xác định: $x≥-1$)
$x^2+2\sqrt[]{x+1}=x+2$
$↔ x^2-x-2+2\sqrt[]{x+1}=0$
$↔ x^2+x-2x-2+2\sqrt[]{x+1}=0$
$↔ x(x+1)-2(x+1)+2\sqrt[]{x+1}=0$
$↔ (x+1)(x-2)+2\sqrt[]{x+1}=0$
$↔ \sqrt[]{x+1}[\sqrt[]{x+1}.(x-2)+2]=0$
$↔ \sqrt[]{x+1}=0$ $(1)$ hoặc $\sqrt[]{x+1}.(x-2)+2=0$ $(2)$
Giải $(1)$ ta được: $\sqrt[]{x+1}=0 ↔ x+1=0 ↔ x=-1$ (thỏa mãn)
Giải $(2)$: Đặt $\sqrt[]{x+1}=t (t≥0) → t^2=x+1 → x-2=t^2-3$
Ta có phương trình:
$t(t^2-3)+2=0$
$↔ t^3-3t+2=0$
$↔ t^3-t-2t+2=0$
$↔ t(t^2-1)-2(t-1)=0$
$↔ t(t-1)(t+1)-2(t-1)=0$
$↔ (t-1)(t^2+t-2)=0$
$↔ (t-1)(t^2+2t-t-2)=0$
$↔ (t-1)[t(t+2)-(t+2)]=0$
$↔ (t-1)^2.(t+2)=0$
$↔ \left[ \begin{array}{l}t=1\\t=-2\end{array} \right.$
Loại $t=-2$ do $t≥0$
$→ \sqrt[]{x+1}=1$
$→ x+1=1$
$↔ x=0$ (thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=-1$ hoặc $x=0$.
