Xét ΔABD và ΔACE có:
+ góc ADB = góc AEC = 90 độ
+ AB = AC
+ góc A Chung
=> ΔABD = ΔACE (ch-gn)
Do ΔABD = ΔACE nên AD = AE
=> CD = BE
Xét ΔBEH và ΔCDH vuông tại E và D có:
+ BE = CD
+ góc BHE = góc CHD (đối đỉnh)
=> ΔBEH = ΔCDH (ch-gn)
=> HB = HC
=> ΔHBC cân tại H.
ΔBEH = ΔCDH nên HD = HE
Trong ΔBEH vuông tại E
=> HE < HB
=> HD < HB
Gọi BN cắt CM tại O, OH cắt BC tại K
MN= NH
=> ΔBNH = ΔCMH (c-g-c)
=> BN = CM và góc HBN = góc HCM
=> ΔOBH = ΔOCH (c-g-c)
=> OB = OC và góc BOH = góc COH
Xét ΔBOK và ΔCOK
+ BO= CO
+ góc BOK = góc COK
+ OK chung
=>ΔBOK = ΔCOK (c-g-c)
=> BK = CK và góc OKB = góc OKC = 90 độ
=> OK ⊥ BC
Mà H là giao của 3 đường cao ΔABC
=> AH là đường cao thứ 3
=> AH ⊥ BC
=> AH đi qua K và O
=> AH,BN,CM đồng quy tại O
