Câu 1:

a) Ta có $DE$ là tiếp tuyến chung của $(O)$ và $(O')$ $(gt)$

$\Rightarrow OD\perp DE; \, O'E\perp OE$

$\Rightarrow OD//O'E$

$\Rightarrow \widehat{DOO'} + \widehat{EO'O} = 180^o$ (trong cùng phía)

Ta lại có:

$OD = OA = R$

$\Rightarrow ΔODA$ cân tại $O$

$\Rightarrow \widehat{ODA} = \widehat{OAD} = \dfrac{180^o - \widehat{DOO'}}{2}$

Tương tự, $ΔO'EA$ cân tại $O'$

$\Rightarrow \widehat{O'EA} = \widehat{O'AE} = \dfrac{180^o - \widehat{EO'O}}{2}$

Ta được:

$\widehat{ADE} + \widehat{AED}$

$=90^o - \widehat{ODA} + 90^o - \widehat{O'EA}$

$= 180^o - \left(\dfrac{180^o - \widehat{DOO'}}{2} + \dfrac{180^o - \widehat{EO'O}}{2}\right)$

$= 180^o - \dfrac{360^o - (\widehat{DOO'} + \widehat{EO'O})}{2}$

$= 180^o - \dfrac{360^o - 180^o}{2}$

$=90^o$

$\Rightarrow \widehat{DAE} = 180^o - (\widehat{ADE} + \widehat{AED}) = 90^o$

b) Xét tứ giác $ADME$ có:

$\widehat{MDA} = \widehat{ADB} = 90^o$ ($\widehat{ADM}$ nhìn đường kính $BA$)

$\widehat{MEA} = \widehat{AEC} = 90^o$ ($\widehat{DEC}$ nhìn đường kính $AC$)

$\widehat{DAE} = 90^o$ (câu a)

Do đó $ADME$ là hình chữ nhật

c) Ta có:

$\widehat{MAD} = \widehat{EDA}$ ($ADME$ là hình chữ nhật)

$\widehat{OAD} = \widehat{ODA}$ ($ΔODA$ cân tại $O$)

$\Rightarrow \widehat{MAO} = \widehat{MAD} + \widehat{OAD} = \widehat{EDA} + \widehat{ODA} = \widehat{ODE} = 90^o$

$\Rightarrow MA\perp AO$

$\Rightarrow MA$ là tiếp tuyến của $(O)$

Chứng minh tương tự, ta được: $MA$ là tiếp tuyến của $(O')$

Do đó $MA$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Câu 2: Sửa đề: $I = BE\cap CD$

a) Xét $ΔABC$ có:

$\widehat{BEC} = 90^o$ (nhìn đường kính $BC$)

$\Rightarrow BE\perp AC$

$\widehat{CDB} = 90^o$ (nhìn đường kính $BC$)

$\Rightarrow CD\perp AB$

$I = BE\cap CD$

$\Rightarrow I$ là trực tâm của $ΔABC$

$\Rightarrow AI\perp BC$

b) Xét tứ giác $ADIE$ có:

$\widehat{ADI} = \widehat{CDB} = \widehat{AEI} = \widehat{BEC} = 90^o$

Do đó $ADIE$ là tức giác nội tiếp

hay $A, D, I, E$ cùng thuộc một đường tròn

c) Xét $ΔADC$ vuông tại $D$ có $\widehat{A} = 60^o$

$\widehat{ACD} = 90^o - \widehat{A} = 90^o - 60^o = 30^o$

Ta có: $BC = 2R$

$AB = 2R$

$\widehat{BAC} = 60^o$

$\Rightarrow ΔBAC$ đều

Ta lại có: $CD\perp AB$

$\Rightarrow AD = DB = \dfrac{1}{2}AB = R$