Gọi $M$ là trung điểm của $BC$
và $M'$ là hình chiếu của $M$ lên $d$
Ta có:
$BB'\perp d$
$CC'\perp d$
$\Rightarrow BB'C'C$ là hình thang vuông tại $B',C'$
Ta lại có:
$MB = MC$
$MM'//BB'//CC' \, (\perp d)$
$\Rightarrow MM'$ là đường trung bình của hình thang
$\Rightarrow MM' = \dfrac{BB' + CC'}{2}$
hay $2MM' = BB' + CC'$
Gọi $G'$ là hình chiếu của $G$ lên $d$
Gọi $I$ là giao điểm của $MA'$ và $GG'$
Ta có:
$AA'//GG' \, (\perp d)$
$\Rightarrow AA'//GI$
Theo định lý Thales, ta được:
$\dfrac{MG}{MA} = \dfrac{GI}{AA'} = \dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow GI = \dfrac{1}{3}AA'$
Ta cũng được: $IG'//MM'$
$\Rightarrow \dfrac{IG'}{MM'} = \dfrac{IA'}{A'M}$
Ta có: $\dfrac{MI}{MA'} = \dfrac{MG}{MA} = \dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{IA'}{MA'} = \dfrac{2}{3}$
Do đó: $\dfrac{IG'}{MM'} = \dfrac{IA'}{MA'} = \dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow IG' = \dfrac{2}{3}MM'$
Ta được:
$GG' = GI + IG' = \dfrac{1}{3}AA' + \dfrac{2}{3}MM' = \dfrac{1}{3}AA' + \dfrac{1}{3}(BB' + CC')$
Do đó $GG' = \dfrac{AA' + BB' + CC'}{3}$
Hay $AA' + BB' + CC' = 3GG'$
