Đáp án:
$d(AH;SC) = \dfrac{a\sqrt{285}}{57}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\begin{cases}(SAB)\perp (ABCD) \, (gt)\\(SAC)\perp (ABCD)\, (gt)\\(SAB)\cap (SAC) = SA\end{cases}$
$\Rightarrow SA\perp (ABCD)$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AD^2} + \dfrac{1}{SA^2}$
$\Rightarrow SA = \dfrac{AH.AD}{\sqrt{AD^2 - AH^2}} = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$AC^2 = BC^2 + CD^2 = AB^2 + AD^2 = 5a^2$
$SC^2 = SA^2 + AC^2 = \dfrac{19a^2}{3}$
$\Rightarrow SC = \dfrac{a\sqrt{57}}{3}$
$SA^2 = SH^2 + AH^2$
$\Rightarrow SH = \sqrt{SA^2 - AH^2} = a\sqrt5$
Ta có:
$SA\perp (ABCD) \, (cmt)$
$\Rightarrow SA\perp CD$
mà $CD\perp AD$
$\Rightarrow CD\perp (SAD)$
$\Rightarrow CD\perp AH; \, CD\perp SD$
mà $AH\perp SD \,(gt)$
$\Rightarrow AH\perp (SCD)$
Từ $H$ kẻ $HK\perp SC$
$\Rightarrow AH\perp HK$
$\Rightarrow HK = d(AH;SC)$
Xét $∆SHK$ và $∆SCD$ có:
$\widehat{K} = \widehat{D} = 90^o$
$\widehat{CSD}:$ góc chung
Do đó $∆SHK\sim ∆SCD \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{HK}{CD} = \dfrac{SH}{SC}$
$\Rightarrow HK = \dfrac{SH.CD}{SC} = \dfrac{a\sqrt{285}}{57}$
