TH1: tanx^n = $(\tan x)^n = \tan^nx$
Khi đó ta có
$y = f(x) = \tan x . \tan^2x . \dots . \tan^{99}x$
$= (\tan x)^{1 + 2 + \cdots + 99}$
$= (\tan x)^{4950}$
Mặt khác, ta xét
$f(-x) = [\tan(-x)]^{4950}$
$= (-\tan x)^{4950}$
$= \tan^{4950}x = f(x)$
Vậy $f(x)$ là hàm chẵn.
TH2: tanx^n = $\tan(x^n)$
Khi đó ta xét
$f(-x) = \tan(-x) . \tan[(-x)^2] . \dots . \tan [(-x)^{99}]$
$= (-\tan x) . \tan(x^2) . \dots . [-\tan(x^{99})]$
$= (-1)^n . \tan x . \tan(x^2) . \dots . \tan(x^{99})$
$= (-1)^n . f(x)$
Ta thấy tại những thừa số có lũy thừa của $x$ là lẻ thì sẽ phải nhân với $-1$ ra ngoài. Vậy lũy thừa của $1$ là số các số lẻ từ $1$ đến $99$. Số các số như vậy là
$\dfrac{99-1}{2} + 1 = 50$
Suy ra
$f(-x) = (-1)^{50} . f(x) = f(x)$
Vậy $f(x)$ là hàm chẵn.
Vậy ở cả hai trường hợp thì $f(x)$ luôn là hàm chẵn.
