Đáp án:
1) $\left[\begin{array}{l}m \geq 1 + \sqrt3\\m \leq 1 - \sqrt3\end{array}\right.$
2) $m \geq \dfrac{2 +\sqrt6}{2}$
Giải thích các bước giải:
1) $y = \dfrac{2}{3}x^3 - 2mx^2 + (m^2 - 2m -1)x + 1$
$TXĐ: D = R$
$y' = 2x^2 - 4mx + m^2 - 2m - 1$
Hàm số đồng biến trên $R$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a > 0\\\Delta_{y'}' \leq 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}2 > 0\\2^2 - 2(m^2 - 2m - 1) \leq 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow -2m^2 + 4m + 4 \leq 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m \geq 1 + \sqrt3\\m \leq 1 - \sqrt3\end{array}\right.$
2) $y = \dfrac{1}{3}m^3 - (m-1)x^2 + 3(m-2)x + \dfrac{1}{3}$
$TXĐ: D = R$
$+) \quad m = 0 \Leftrightarrow y = x^2 + 3x + \dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow y$ là một parabol vừa có khoảng đồng biến vừa có khoảng nghịch biến
$+) \quad m \ne 0$
$y' = mx^2 - 2(m-1)x + 3(m-2)$
Hàm số đồng biến trên $R$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a > 0\\\Delta_{y'}' \leq 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m > 0\\(m-1)^2 - 3m(m-2) \leq 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m > 0\\-2m^2 + 4m + 1 \leq 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m > 0\\\left[\begin{array}{l}m \geq \dfrac{2 +\sqrt6}{2}\\m \leq \dfrac{2 - \sqrt6}{2}\end{array}\right.\end{cases}$
$\Rightarrow m \geq \dfrac{2 +\sqrt6}{2}$
