Giả sử phản chứng rằng có hữu hạn số nguyên tố có dạng $4k + 3$ là
$4k_1 + 3, 4k_2 + 3,\dots, 4k_n + 3$
Ta sẽ chứng minh số nguyên tố
$p = 4(4k_1 + 3)(4k_2 + 3) \dots (4k_n + 3) + 3$
$= 4m + 3$
là một số nguyên tố.
Do $4k + 3 \geq 3$ với mọi số $k$, suy ra ta thấy $p > m$.
Hơn nữa, $p$ ko chia hết cho các số nguyên tố $4k_1 + 3, \dots, 4k_n + 3$, cụ thể khi $p$ chia cho các số nguyên tố $4k_1 + 3,\dots, 4k_n + 3$ sẽ dư $3$.
Vậy $p$ là số nguyên tố. (mâu thuẫn với giả thiết)
Hơn nữa, $p$ cũng có dạng là $4k + 3$.
Vậy phải có vô số nguyên tố dạng $4k + 3$.
