$M\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow x+\sqrt{x}+1\in Ư(3)$

Vì $x+\sqrt{x}+1=(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}\ge \dfrac{3}{4}$

$\Rightarrow x+\sqrt{x}+1\in\{1;3\}$

$+) x+\sqrt{x}+1=1\Leftrightarrow \sqrt{x}(\sqrt{x}+1)=0$

$\sqrt{x}+1>0\Rightarrow \sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0$

$+) x+\sqrt{x}+1=3\Leftrightarrow x+\sqrt{x}-2=0\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)=0$

$\sqrt{x}+2>0\Rightarrow \sqrt{x}-1=0\Leftrightarrow x=1$

Vậy $x\in\{0;1\}$

Đáp án:

$x=\left\{0;1\right\}$

Giải thích các bước giải:

$M = \dfrac{3}{x + \sqrt x + 1}$ $\quad (x \geq 0)$

$M \in \Bbb Z \Leftrightarrow x + \sqrt x + 1 \in Ư(3)=\left\{-3;-1;1;3\right\}$

Ta có: $\sqrt x \geq 0$

$\Leftrightarrow x \geq 0$

$\Leftrightarrow x + \sqrt x + 1 \geq 1$

Do đó:

$x + \sqrt x + 1 = \left\{1;3\right\}$

$+)$ Với $x + \sqrt x + 1 = 1$ ta được:

$x + \sqrt x = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\sqrt x = 0\\\sqrt x = - 1 \quad (loại)\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow x = 0$

$+)$ Với $x + \sqrt x + 1 = 3$ ta được:

$x + \sqrt x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\sqrt x = 1\\\sqrt x = - 2 \quad (loại)\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow x = 1$

Vậy $x=\left\{0;1\right\}$