Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a)Không mất tính tổng quát xét $ AB ≤ AC$
Giả sử đã xác định được $D$ thỏa mãn bài toán
$(I)$ tiếp xúc $BC; AB$ tại $E; P; (J)$ tiếp xúc $BC; CA$ tại $F;Q$.
$ ⇒ BE = BP; CF = CQ$
Gọi $K$ là tiếp điểm của $AD; (I); (J) ⇒ DE = DK = DF$
Ta có :
$BD = BE + ED = BP + ED = (AB - AP) + ED (1)$
$CD = CF + DF = CQ + DF = (AC - AQ) + DF (2)$
$(1) - (2) : BD - CD = AB - AC ⇔ BD - (BC - BD) = AB - AC$
$ ⇔ 2BD = AB + BC - AC ⇔ BD = \frac{1}{2}(AB + BC - AC) (1)$
Xác định $D$ bằng cách dựng đoạn $BD$ theo $(1)$
b) $AO ∩BC= M$ Vẽ $OL⊥IJ (L∈IJ)$
Ta có $: ∠IOJ = ∠IOM + ∠JOM = 2∠IAO + 2∠JAO$
$ = 2∠IAJ ⇒ ∠IOL = JOL = \dfrac{1}{2}∠IOJ = ∠IAJ$
Nên $: 2∠IAO - 2∠JAO = ∠IOM - ∠JOM $
$ = (∠IOL + ∠LOM) - (∠JOL - ∠LOM) = 2∠LOM$
$ ⇔ ∠IAO - ∠JAO = ∠LOM = ∠DAM $(vì $OL//AD$)
$ ⇔ ∠IAO - ∠DAM= ∠JAO ⇔ ∠IAD = ∠JAO ⇔ ∠IAB = ∠JAO$
$ ⇔ ∠IAB + ∠IAM = ∠JAO + ∠IAO = ∠IAJ $
$ ⇔ ∠BAM = \frac{1}{2}∠BAC (đpcm) $
