Đáp án:

$\begin{array}{l}
a)x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi ;x = \arctan \left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right) + k\pi \left( {k \in Z} \right)\\
b)x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ;x = \arctan \left( {\dfrac{1}{2}} \right) + k\pi \left( {k \in Z} \right)\\
c)VN\\
d)x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi ;x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)
\end{array}$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}
a)2{\tan ^2}x + 3\tan x + 1 = 0\left( {DK:\cos x \ne 0} \right)\\
 \Leftrightarrow \left( {\tan x + 1} \right)\left( {2\tan x + 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x =  - 1\\
\tan x = \dfrac{{ - 1}}{2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \arctan \left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right) + k\pi 
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là:

$x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi ;x = \arctan \left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right) + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

$\begin{array}{l}
b)2{\tan ^2}x - 3\tan x + 1 = 0\left( {DK:\cos x \ne 0} \right)\\
 \Leftrightarrow \left( {\tan x - 1} \right)\left( {2\tan x - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x = 1\\
\tan x = \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \arctan \left( {\dfrac{1}{2}} \right) + k\pi 
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là:

$x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ;x = \arctan \left( {\dfrac{1}{2}} \right) + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

$\begin{array}{l}
c)\sqrt 3 {\tan ^2}x + 3 = 0\left( {DK:\cos  \ne 0} \right)\left( 1 \right)\\
NX:\\
\sqrt 3 {\tan ^2}x \ge 0,\dforall x \in DK\\
 \Rightarrow \sqrt 3 {\tan ^2}x + 3 \ge 3 > 0\\
 \Rightarrow \left( 1 \right)vn\\
d)3{\cot ^2}x - 1 = 0\left( {DK:\sin x \ne 0} \right)\\
 \Leftrightarrow {\cot ^2}x = \dfrac{1}{3}\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cot x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\\
\cot x = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \\
x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k\pi 
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là:

$x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi ;x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$