Đáp án:
\[x = - 1\]
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ: \( - 5 \le x \le 3\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} + 2x + 2} + \sqrt {{x^2} + 2x + 10} = \sqrt {15 - 2x - {x^2}} \\
\Leftrightarrow \sqrt {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 1} + \sqrt {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 9} = \sqrt {16 - \left( {{x^2} + 2x + 1} \right)} \\
\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1} + \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 9} = \sqrt {16 - {{\left( {x + 1} \right)}^2}} \\
VT = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1} + \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 9} \ge \sqrt {0 + 1} + \sqrt {0 + 9} = 4,\,\,\,\forall x \in \left[ { - 5;3} \right]\\
VP = \sqrt {16 - {{\left( {x + 1} \right)}^2}} \le \sqrt {16 - 0} = 4\\
\Rightarrow VT \ge 4 \ge VP
\end{array}\)
Suy ra dấu '=' của các bất đẳng thức trên phải xảy ra
Do đó, \({\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)
Vậy \(x = - 1\)
