Giải thích các bước giải:
Kẻ $DE\perp AC\to \Delta ADE$ vuông tại $E$
Mà $AD$ là phân giác góc $A\to\widehat{DAE}=\dfrac12\widehat{BAC}=45^o$
$\to \Delta ADE$ vuông cân tại $E$
$\to AE=ED=\dfrac{AD}{\sqrt{2}}=\dfrac{15}{2\sqrt{2}}$
Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A,AH\perp BC$
$\to CA^2=CH\cdot CB, AH^2=HB\cdot HC$(Hệ thức lượng trong tam giác)
$\to AC^2=10BC,AH^2=10HB$
$\to AC=\sqrt{10BC}, AH=\sqrt{10HB}$
$\to AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{BC^2-10BC}$
Lại có: $AD$ là phân giác góc $A$
$\to \dfrac{DC}{DB}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{\sqrt{10BC}}{\sqrt{BC^2-10BC}}=\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{BC-10}}$
$\to\dfrac{DC}{DC+DB}=\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{BC-10}+\sqrt{10}}$
$\to\dfrac{DC}{BC}=\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{BC-10}+\sqrt{10}}$
$\to DC=\dfrac{BC\sqrt{10}}{\sqrt{BC-10}+\sqrt{10}}$
Ta có: $\widehat{DEC}=\widehat{CHA}=90^o,\widehat{DCE}=\widehat{HCA}$
$\to\Delta CDE\sim\Delta CAH(g.g)$
$\to\dfrac{CD}{CA}=\dfrac{CE}{CH}$
$\to CD\cdot CH=CE\cdot CA$
$\to \dfrac{BC\sqrt{10}}{\sqrt{BC-10}+\sqrt{10}}\cdot 10=(CA-AE)\cdot CA$
$\to \dfrac{BC\sqrt{10}}{\sqrt{BC-10}+\sqrt{10}}\cdot 10=(\sqrt{10BC}-\dfrac{15}{2\sqrt{2}})\cdot \sqrt{10BC}$
$\to BC\approx 15.50415\dots $
$\to BH=BC-CH\approx 5.50415\dots$
$AH=\sqrt{55.0415\dots}$
$DH=\sqrt{AD^2-AH^2}\approx 1.09931\dots $
