Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt $ : x(x + 1)(2x + 1).g(x) + ax² + bx + c = (x + 1)^{2n} - x^{2n} - 2x - 1 (*)$
Với $g(x)$ là đa thức bậc $2n - 3; r(x) = ax² + bx + c $ là đa thức dư bậc $≤ 2$
Lần lượt thay $x = 0; x = - 1; x = - \frac{1}{2}$ vào $(*)$ Ta có:
$ 0(0 + 1)(2.0 + 1).g(0) + a.0² + b.0 + c = (0 + 1)^{2n} - 0^{2n} - 2.0 - 1$
$ ⇔ 0 + c = 0 ⇔ c = 0 (1)$
$ (- 1)(- 1 + 1)(2.(- 1) + 1).g(- 1) + a.(- 1)² + b.(- 1) + c = (- 1 + 1)^{2n} - (- 1)^{2n} - 2.(- 1) - 1$
$ ⇔ a - b + c = 0 ⇔ a - b = 0 (2)$
$ (- \frac{1}{2})(- \frac{1}{2} + 1)(2.(- \frac{1}{2}) + 1).g(- \frac{1}{2}) + a.(- \frac{1}{2})² + b.(- \frac{1}{2}) + c = (- \frac{1}{2} + 1)^{2n} - (- \frac{1}{2})^{2n} - 2.(- \frac{1}{2}) - 1$
$ ⇔ \dfrac{a}{4} - \dfrac{b}{2} + c = 0 ⇔ a - 2b = 0 (3)$
$(2) - (3) ⇒ b = 0 ⇒ a = 0 ⇒ r(x) = 0 $ ( với $∀x$)
$ ⇒ (x + 1)^{2n} - x^{2n} - 2x - 1 = x(x + 1)(2x + 1).g(x)$ ( với $∀x$)
hay $ (x + 1)^{2n} - x^{2n} - 2x - 1 $ chia hết cho $x(x + 1)(2x + 1)$
