Đáp án:
a. Không tồn tại giá trị x và y để phương trình có GTNN
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
a.2{x^2} + 2{y^2} + 2xy - 8x - 10y + 2025\\
= {x^2} + {y^2} + 4 + 2xy + 2.x.\left( { - 2} \right) + 2.y.\left( { - 2} \right) + {x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 6y + 9 + 2008\\
= {\left( {x + y - 2} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + 2008\\
Do:\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x + y - 2} \right)^2} \ge 0\\
{\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\\
{\left( {y - 3} \right)^2} \ge 0
\end{array} \right.\forall x;y \in R\\
\to {\left( {x + y - 2} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} \ge 0\\
\to {\left( {x + y - 2} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + 2008 \ge 2008\\
\to Min = 2008\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y - 2 = 0\\
x = 2\\
y = 3
\end{array} \right.\left( {vô lý} \right)
\end{array}\)
⇒ Không tồn tại giá trị x và y để phương trình có GTNN
\(\begin{array}{l}
b.2{x^2} + 2{y^2} + 2xy - 14x - 16y + 2020\\
= {x^2} + {y^2} + 4 + 2xy + 2.x.\left( { - 2} \right) + 2y.\left( { - 2} \right) + {x^2} - 10x + 25 + {y^2} - 12y + 36 + 1955\\
= {\left( {x + y - 2} \right)^2} + {\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + 1955\\
Do:{\left( {x + y - 2} \right)^2} + {\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} \ge 0\forall x;y \in R\\
\to {\left( {x + y - 2} \right)^2} + {\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + 1955 \ge 1955\\
\to Min = 1955\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y - 2 = 0\\
x = 5\\
y = 6
\end{array} \right.\left( {vô lý} \right)
\end{array}\)
⇒ Không tồn tại giá trị x và y để phương trình có GTNN
