a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$AH^2 = AM.AB$
$AH^2 = AN.AC$
$\Rightarrow AM.AB = AN.AC$
b) Ta có: $AM.AB = AN.AC$ (câu a)
$\Rightarrow \dfrac{AM}{AC} = \dfrac{AN}{AB}$
Xét $ΔANM$ và $ΔABC$ có:
$\widehat{A}:$ góc chung
$\dfrac{AM}{AC} = \dfrac{AN}{AB}$ $(cmt)$
Do đó $ΔANM\sim ΔABC \, (c.g.c)$
$\Rightarrow \dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \left(\dfrac{AN}{AB}\right)^2 = \left(\dfrac{AN.AH}{AB.AH}\right)^2$
$=\left(\dfrac{AH}{AB}\right)^2\cdot\left(\dfrac{AN}{AH}\right)^2$
$= \sin^2\widehat{ABC}.\cos^2\widehat{NAH}$
$= \sin^2\widehat{ABC}.\cos^2\widehat{ABC}$
