Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$\text{Bổ sung: $x, y, z$ là các số dương}$
Ta có: `(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})`
`=1+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+1+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+1`
`=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+3`
$\text{Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta được:}$
$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} \geq 2\sqrt{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}}=2$
$\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x} \geq 2\sqrt{\dfrac{x}{z}.\dfrac{z}{x}}=2$
$\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y} \geq 2\sqrt{\dfrac{y}{z}.\dfrac{z}{y}}=2$
$⇒ (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+3 \geq 2+2+2+3=9$
$⇔ (x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}) \geq 9$
$⇔ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \geq \dfrac{9}{x+y+z}$ $(ĐPCM)$
