Đáp án:

 b)$A\left( {\dfrac{3}{4};0} \right);B\left( {0;3} \right)$

c)$OH=\dfrac{{15}}{{19}}$

d)$IK=\dfrac{{45}}{{19}}$

e)${S_{OAB}} = \dfrac{9}{8}$

Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

Hàm số $y =  - 4x + 3$ cắt trục $Ox$ tại điểm $A\left( {\dfrac{3}{4};0} \right)$ và cắt $Oy$ tại điểm $B\left( {0;3} \right)$

Kẻ đường thẳng $AB$ ta có đồ thị hàm số $y =  - 4x + 3$ là đường thẳng $d$

b) Từ câu a ta có:

$A\left( {\dfrac{3}{4};0} \right);B\left( {0;3} \right)$

c) Gọi đường thẳng $OH\bot d=H$

Ta có:

Do $OH\bot d$ $ \Rightarrow OH:y = \dfrac{3}{4}x$ 

Mà $OH\cap d=H$ nên tọa độ của $H$ thỏa mãn hệ sau:

$\left\{ \begin{array}{l}
y = \dfrac{3}{4}x\\
y =  - 4x + 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{12}}{{19}}\\
y = \dfrac{9}{{19}}
\end{array} \right.$

$ \Rightarrow H\left( {\dfrac{{12}}{{19}};\dfrac{9}{{19}}} \right)$

Khi đó:

Khoảng cách từ $O$ đến $d$ là:

$OH = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{12}}{{19}}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{9}{{19}}} \right)}^2}}  = \dfrac{{15}}{{19}}$

d) Ta gọi $IK\bot d=K$

Ta có:

Do $IK\bot d$ $ \Rightarrow IK:y + 2= \dfrac{3}{4}\left( {x + 1} \right) \Rightarrow IK:y = \dfrac{3}{4}x - \dfrac{5}{4}$

Mà $IK\cap d=K$ nên tọa độ của $K$ thỏa mãn hệ sau:

$\left\{ \begin{array}{l}
y = \dfrac{3}{4}x - \dfrac{5}{4}\\
y =  - 4x + 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{17}}{{19}}\\
y = \dfrac{{ - 11}}{{19}}
\end{array} \right. \Rightarrow K\left( {\dfrac{{17}}{{19}};\dfrac{{ - 11}}{{19}}} \right)$

Khi đó:

Khoảng cách từ $I$ đến $d$ là:

$IK = \sqrt {{{\left( { - 1 - \dfrac{{17}}{{19}}} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + \dfrac{{11}}{{19}}} \right)}^2}}  = \dfrac{{45}}{{19}}$

e) Ta có:

$\Delta OAB$ vuông tại $O$.

$ \Rightarrow {S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}.3 = \dfrac{9}{8}$

Vậy ${S_{OAB}} = \dfrac{9}{8}$