Đáp án: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(-∞;1).$
Giải thích các bước giải:
$y=\dfrac{x^2-x-1}{x-1}$
Đặt $y=f(x)$
ĐKXĐ: $x-1_{}$ $\neq0$
⇔ $x\neq1$
TXĐ: $D=R_{}$ \ {1}
$∀x_1,x_2∈(-∞;1)$ , giả sử $x_1\neq x_2$
$H=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
= $\dfrac{\dfrac{x^2_2-x_2-1}{x_2-1}-\dfrac{(x^2_1-x_1-1)}{x_1-1}}{x_2-x_1}$
= $\dfrac{x^2_2-x_2-1}{x_2-1}$ $-$ $\dfrac{(x_1^2-x_1-1)}{x_1-1}$ $:$ $x_2-x_1$
= $\dfrac{(x^2_2-x_2-1)(x_1-1)-(x_1^2-x_1-1)(x_2-1)}{(x_2-1)(x_1-1)}$ $.$ $\dfrac{1}{x_2-x_1}$
= $\dfrac{x^2_2x_1-x_2^2-x_2x_1+x_2-x_1+1-(x_1^2x_2-x_1^2-x_2x_1+x_1-x_2+1)}{(x_2-1)(x_1-1)}$ $.$ $\dfrac{1}{x_2-x_1}$
= $\dfrac{x_2^2x_1-x^2_2-x_2x_1+x_2-x_1+1-x^2_1x_2+x_1^2+x_2x_1-x_1+x_2-1}{(x_2-1)(x_1-1)}$ $.$ $\dfrac{1}{x_2-x_1}$
= $\dfrac{x_2^2x_1-x_1^2x_2+x_1^2-x_2^2+2x_2-2x_1}{(x_2-1)(x_1-1)}$ $.$ $\dfrac{1}{x_2-x_1}$
= $\dfrac{x_2x_1(x_2-x_1)-(x_2-x_1)(x_2+x_1)+2(x_2-x_1)}{(x_2-1)(x_1-1)}$ $.$ $\dfrac{1}{x_2-x_1}$
= $\dfrac{-(x_2+x_1)+2+x_2x_1}{(x_2-1)(x_1-1)}$
Xét khoảng $(-∞;1)$ ⇒ $\begin{cases} x_2<1 \\ x_1<1 \end{cases}$
⇔ $\begin{cases} x_2-1<0 \\ x_1-1<0 \end{cases}$
⇔ $(x_{2}-1)(x_1-1)>0$
⇒ $H<0_{}$
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(-∞;1).$
