a) Ta có:
$AM = MB = \dfrac{1}{2}AB\quad (gt)$
$DN = NC = \dfrac{1}{2}CD \quad (gt)$
$AB = CD \quad (gt)$
$\Rightarrow BM = DN$
Xét tứ giác $BMDN$ có:
$BM = DN\quad (cmt)$
$BM//DN\quad (AB//CD)$
Do đó $BMDN$ là hình bình hành
b) Xét $ΔABK$ có:
$AM = BM\quad (gt)$
$IM//BK \quad (DM//BN)$
$\Rightarrow AI = IK \quad (1)$
Xét $ΔCDI$ có:
$CN = ND \quad (gt)$
$NK//DI\quad (DM//BN)$
$\Rightarrow CK = KI \quad (2)$
$(1)(2)\Rightarrow AI = IK = KC$
c) Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC,BD$ của hình bình hành $ABCD$
$\Rightarrow O$ là trung điểm BD$
Ta lại có: $BD$ là đường chéo hình bình hành $BMDN$
$\Rightarrow O$ là trung điểm đường chéo $MN$
Do đó: $AC,BD,MN$ đồng quy tại $O$
d) Xét $ΔAMI$ và $ΔCNK$ có:
$\widehat{MAI} = \widehat{NCK}$ (so le trong)
$AM = CN$ (câu a)
$AI = CK$ (câu b)
Do đó $ΔAMI = ΔCNK \, (c.g.c)$
$\Rightarrow IM = NK$
Ta lại có: $IM//NK \quad (DM//BN)$
Do đó $MINK$ là hình bình hành
