a) $A = n^5 - 5n^3 + 4$
$\to A = n(n^4 - 5n^2 + 4)$
$\to A = n(n^2 - 1)(n^2 - 4)$
$\to A = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$
$A$ là tích của $5$ số nguyên liên tiếp $\to A \quad \vdots \quad 120$
Chứng minh:
- Tích 5 số nguyên liên tiếp có chứa tích 3 số nguyên liên tiếp $\to A \quad \vdots \quad 3$
- Trong 5 số có ít nhất một số chia hết cho $5 \to A \quad \vdots \quad 5$
- Trong 5 số có ít nhất 2 số nguyên chăn liên tiếp $\to A \quad \vdots \quad 8$
Do $(3;5;8)$ là 3 số nguyên đôi một nguyên tố cùng nhau nên $ A \quad \vdots \quad 3.5.8$
hay $ A \quad \vdots \quad 120$
b) Ta có:
$B = a^3b - ab^3$
$\to B = a^3b - ab - ab^3 + ab$
$\to B = ab(a^2 -1) - ab(b^2 - 1)$
$\to B = ab(a - 1)(a + 1) - ab(b+1)(b-1)$
Do $(a-1)a(a+ 1) \quad \vdots \quad 6$
nên $b(a-1)a(a+ 1) \quad \vdots \quad 6$
Tương tự ta được:
$ab(b+1)(b-1)\quad \vdots \quad 6$
Do đó:
$ab(a - 1)(a + 1) - ab(b+1)(b-1) \quad \vdots \quad 6$
hay $B\quad \vdots \quad 6$