Giải thích các bước giải:
a.Ta có: $AB\perp AC, HD\perp AB, HE\perp AC$
$\to ADHE$ là hình chữ nhật
$\to AH=DE$
Lại có $AH\perp BC\to 2S_{ABC} =AH.BC=AB.AC$
$\to DE.BC=AB.AC$
b.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A,AH\perp BC$
$\to BA^2=BH.BC, CA^2=CH.CB$ (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
$\to \dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH.BC}{CH.CB}=\dfrac{BH}{CH}$
c.Gọi $AM\perp DE=F$
$\to \widehat{MAC}=\widehat{FAE}=90^o-\widehat{DAF}=\widehat{ADE}=\widehat{DAH}=\widehat{BAH}=90^o-\hat B=\widehat{ACM}$
$\to \Delta MAC$ cân tại $M\to MA=MC$
Lại có:
$\widehat{MAB}=90^o-\widehat{MAC}=90^o-\widehat{ACM}=\widehat{MBA}$
$\to\Delta MAB$ cân tại $M\to MA=MB$
$\to MB=MC$
$\to M$ là trung điểm $BC$
d.Ta có: $\Delta MAC$ cân tại $M$
$\to \widehat{MAC}=\widehat{MCA}=\hat C=\alpha$
$\to \widehat{AMN}=2\widehat{ACM}=2\alpha$
Lại có: $AM\perp AN$
$\to \cos2\alpha=\cos\widehat{AMN}=\dfrac{AM}{MN}$
$\to \dfrac{\cos2\alpha}{1}=\dfrac{\dfrac12BC}{MN}$
$\to \dfrac{\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha}=\dfrac{\dfrac12BC}{MN+\dfrac12BC}$
$\to \dfrac{\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha}=\dfrac{\dfrac12BC}{MN+MC}$
$\to \dfrac{\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha}=\dfrac{\dfrac12a}{NC}$
$\to CN=\dfrac{\dfrac12a(1+\cos2\alpha)}{\cos2\alpha}$
$\to CN=\dfrac{a(1+\cos2\alpha)}{2\cos2\alpha}$
