Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\begin{array}{l}
B = {11^n} + 40n - 1\\
= \left( {{{11}^n} - 1} \right) + 40n\\
= \left( {{{11}^n} - {1^n}} \right) + 40n\\
= \left( {11 - 1} \right)\left( {{{11}^{n - 1}} + {{11}^{n - 2}} + ... + 1} \right) + 40n\\
= 10\left( {{{11}^{n - 1}} + {{11}^{n - 2}} + ... + 1} \right) + 40n\\
= 10\left( {{{11}^{n - 1}} + {{11}^{n - 2}} + ... + 1 + 4n} \right)
\end{array}$
Lại có:
$\begin{array}{l}
11 \equiv 1\left( {\bmod 5} \right)\\
\Rightarrow {11^k} \equiv 1\left( {\bmod 5} \right)\left( {0 \le k \le n - 1} \right)
\end{array}$
$ \Rightarrow {11^{n - 1}} + {11^{n - 2}} + ... + 1 + 4n \equiv 1 + 1 + ... + 1 + 4n\left( {\bmod 5} \right)$ (Có $n$ số $1$)
$\begin{array}{l}
\Rightarrow {11^{n - 1}} + {11^{n - 2}} + ... + 1 + 4n \equiv n + 4n\left( {\bmod 5} \right)\\
\Rightarrow {11^{n - 1}} + {11^{n - 2}} + ... + 1 + 4n \equiv 5n\left( {\bmod 5} \right)\\
\Rightarrow {11^{n - 1}} + {11^{n - 2}} + ... + 1 + 4n \equiv 0\left( {\bmod 5} \right)\\
\Rightarrow \left( {{{11}^{n - 1}} + {{11}^{n - 2}} + ... + 1 + 4n} \right) \vdots 5
\end{array}$
$ \Rightarrow 10\left( {{{11}^{n - 1}} + {{11}^{n - 2}} + ... + 1 + 4n} \right) \vdots 50$
Hay $B \vdots 50$
Ta có đpcm.
