a) Xét tứ giác $ADCM$ có:
$AN = NC =\dfrac12AC\quad (gt)$
$MN = ND =\dfrac12MD\quad (gt)$
Do đó $ADCM$ là hình bình hành
Ta lại có:
$\widehat{AMC}=90^o\quad (AM\perp BC)$
Do đó $ADCM$ là hình chữ nhật
b) Ta có:
$∆ABC$ cân tại $A$
Đường cao $AM$
$\Rightarrow MB = MC =\dfrac12BC$
Ta lại có: $MC\mathop{=}\limits^{//}AD$ ($ADCM$ là hình chữ nhật)
$\Rightarrow MB \mathop{=}\limits^{//}AD$
$\Rightarrow ABMD$ là hình bình hành
$\Rightarrow AM,BD$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
mà $O$ là trung điểm $AM$
nên $BD$ đi qua $O$
c) Xét $∆ADM$ có:
$AN$ là trung tuyến $(MN = ND)$
$DO$ là trung tuyến $(OA = OM)$
$AN\cap DO=\left\{I\right\}$
$\Rightarrow I$ là trọng tâm $∆ADO$
$\Rightarrow DI =\dfrac23DO$
Ta lại có:
$DO = OB\quad (ABCD$ là hình bình hành$)$
$\Rightarrow DI =\dfrac23OB$
