Đáp án:
$S_{DEF} = 16\sqrt{3} - 16$.
Giải thích các bước giải:
Hạ $DH \perp EF$. Đồng thời đặt $x = EH, y = HF$.
Khi đó, do $EF = 8$ nên ta có
$x + y = 8$
Xét tam giác vuông $DHF$ có
$\tan 45 = \dfrac{DH}{HF}$
$\Leftrightarrow DH = HF. \tan 45$
$\Leftrightarrow DH = y . 1$
Vậy $HD = y$.
Xét tam giác vuông $EHD$ có
$\sin \widehat{E} = \dfrac{DH}{DE}$
$\Leftrightarrow DE = \dfrac{DH}{\sin \widehat{E}}$
$\Leftrightarrow DE = \dfrac{y}{\sin 30}$
$\Leftrightarrow DE = 2y$
Áp dụng Định lý Pythagore trong tam giác $HDE$ ta có
$DH^2 + HE^2 = DE^2$
$\Leftrightarrow y^2 + x^2 = (2y)^2$
$\Leftrightarrow x^2 = 3y^2$
Vậy ta có hệ
$\begin{cases} x + y = 8\\ x^2 - 3y^2 = 0\end{cases}$
Từ ptrinh đầu suy ra $x = 8-y$. Thay vào ptrinh sau ta có
$(8-y)^2 - 3y^2 = 0$
$\Leftrightarrow y^2 - 16y + 64 - 3y^2 = 0$
$\Leftrightarrow -2y^2 - 16y + 64 = 0$
$\Leftrightarrow y^2 + 8y - 32 = 0$
$\Leftrightarrow y = -4 + 4\sqrt{3}$ hoặc $y = -4 - 4\sqrt{3}$ (loại)
Vậy $y = 4\sqrt{3} - 4$, suy ra $x = 12 - 4\sqrt{3}$
Ta có
$S_{HDE} = \dfrac{1}{2} . HD.HE $
$= \dfrac{1}{2} . x.y $
$= \dfrac{1}{2} . (12-4\sqrt{3})(4\sqrt{3} - 4)$
$= 32\sqrt{3} - 48$
và
$S_{DHF} = \dfrac{1}{2} . DH.HF$
$= \dfrac{1}{2} . y^2$
$= \dfrac{1}{2} . 16(4-2\sqrt{3})$
$= 32 - 16\sqrt{3}$
Ta có
$S_{DEF} = S_{HDE} + S_{HDF} = 32\sqrt{3} - 48 + 32 - 16\sqrt{3} = 16\sqrt{3} - 16$
Vậy $S_{DEF} = 16\sqrt{3} - 16$.
