a) Ta có:
$AC,\,BD,\, CD$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,\,B, \,M$
$\Rightarrow \widehat{CAO} = \widehat{CMO} = \widehat{DMO} = \widehat{DBO} = 90^o$
Xét tứ giác $OACM$ có:
$\widehat{CAO} + \widehat{CMO} = 180^o$
Do đó $OACM$ là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác $OBDM$ có:
$\widehat{DMO} + \widehat{DBO} = 180^o$
Do đó $OBDM$ là tứ giác nội tiếp
b) Ta có:
$CA, \, CM$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,\, M$
$\Rightarrow CA = CM$
mà $OA = OM = R$
nên $OC$ là trung trực của $AM$
$\Rightarrow OC\perp AM$
$\Rightarrow \widehat{OEM} = 90^o$
Tương tự, ta được:
$OD$ là trung trực của $BM$
$\Rightarrow \widehat{OFM} = 90^o$
Bên cạnh đó:
$\widehat{AMB} = \widehat{EMF} = 90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow \widehat{OEM} = \widehat{OFM} = \widehat{EMF} = 90^o$
$\Rightarrow OEMF$ là hình chữ nhật
c) Xét $ΔMOC$ vuông tại $M$ có:
$I$ là trung điểm cạnh huyền $OC$
$\Rightarrow IM = IC = IO$
$\Rightarrow ΔIOM$ cân tại $I$
$\Rightarrow \widehat{OIM} = 180^o - 2\widehat{IOM} = 180^o - 2\widehat{COM}\quad (1)$
Xet $ΔMOD$ vuông tại $M$ có:
$K$ là trung điểm cạnh huyền $OD$
$\Rightarrow KM = KD = KO$
$\Rightarrow ΔKMD$ cân tại $K$
$\Rightarrow \widehat{MKD} = 180^o - 2\widehat{KDM} = 180^o - 2\widehat{ODM}\quad (2)$
Ta lại có:
$\widehat{COM} = \widehat{ODM}$ (cùng phụ $\widehat{MOD}$) $(3)$
$(1)(2)(3)\Rightarrow \widehat{OIM} = \widehat{MKD}$
Xét tứ giác $OIMK$ có:
$\widehat{OIM} = \widehat{MKD} \quad (cmt)$
Do đó $OIMK$ là tứ giác nội tiếp
d) Ta có:
$CA = CM;\, DB = DM$ (câu b)
$\Rightarrow AC + BD = CM + DM = CD = 10\, cm$
$\Rightarrow S_{COD} = \dfrac{1}{2}OM.CD = \dfrac{1}{2}.R.10 = 5R$
Ta lại có:
$I$ là trung điểm $OC$
$\Rightarrow S_{MOI} = \dfrac{1}{2}S_{MOC}$
$K$ là trung điểm $OD$
$\Rightarrow S_{MOK} = \dfrac{1}{2}S_{MOD}$
Do đó:
$S_{OIMK} = S_{MOI} + S_{MOK} = \dfrac{1}{2}(S_{MOC} + S_{MOD}) = \dfrac{1}{2}S_{COD} = \dfrac{5R}{2}$
