a) Xét $ΔCDH$ có:

$BD = BC\quad (gt)$

$AB//DH\quad (gt)$

$\Rightarrow AH = AC$

Xét $ΔBEK$ có:

$BC = CE\quad (gt)$

$EK//AC\quad (gt)$

$\Rightarrow AK = AB$

Xét tứ giác $BHKC$ có:

$AH = AC\quad (cmt)$

$AK = AB\quad (cmt)$

Do đó $BHKC$ là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết thứ `5`)

b) Xét tứ giác $AHIK$ có:

$HI//AK\quad (DI//AB)$

$AH//IK\quad (EI//AC)$

Do đó $AHIK$ là hình bình hành

$+) \quad AHIK$ là hình chữ nhật

$\Leftrightarrow \widehat{HAK} = 90^o$

$\Leftrightarrow \widehat{BAC} = 90^o$

$\Leftrightarrow ΔABC$ vuông tại $A$

$+) \quad AHIK$ là hình thoi

$\Leftrightarrow AH = AK$

$\Leftrightarrow AC= AB$

$\Leftrightarrow ΔABC$ cân tại $A$

$+) \quad AHIK$ là hình vuông

$\Leftrightarrow AHIK$ vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật

$\Leftrightarrow \begin{cases}\widehat{HAK} = 90^o\\AH = AK\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}\widehat{BAC} =90^o\\AC = AB\end{cases}$

$\Leftrightarrow ΔABC$ vuông cân tại $A$

a) Xét ΔCDH có: 

      BD=BC (gt)

      AB//DH (gt)

=> AC=AH (đ/lí)        (*)

Cm tương tự =>AB=AK (đ/lí)        (**)

Từ (*) và (**)

=> BHKC là hình bình hành   (đpcm)

b) Xét t/g AHIK có:

IK//HA (do KE//HC)

IH//AK (do KB//HD)

=>AHIK là hbh

+) Để AHIK là hình chữ nhật 

<=> HAK=90 độ

<=> BAC = 90 độ

<=> ΔABC là Δ vuông tại A

+) Để AHIK là hình thoi 

<=> HA=KA

<=> AC=AB

<=> ΔABC là Δ cân tại A

+) Để AHIK là hình vuông

<=>HAK=90 độ     và HA=KA

<=>BAC=90 độ     và AC=AB

<=>ΔABC là Δ vuông cân tại A