Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ủa max khác gì bài $a^2+b^2+c^2+\sqrt{3abc}$ đâu ta?
Do $a+b+c=3$ nên trong 3 số $a;b;c$ có ít nhất 1 số không lớn hơn 1, không mất tính tổng quát, giả sử đó là $a$
$⇒abc \leq bc \leq 2bc \leq 2bc+2ca+2ab$
$⇔P \leq a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2=9$
$P_{max}=9$ khi $(a;b;c)=(0;0;3)$ và các hoán vị
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số $a;b;c$ luôn có 2 số cùng phía so với 1, không mất tính tổng quát, giả sử đó là $a$ và $b$
$⇒(a-1)(b-1) \geq 0$
$⇔ab+1 \geq a+b$
$⇔abc+c \geq ac+bc$
$⇔2abc \geq 2ac+2bc-2c$
$⇒2P=2a^2+2b^2+2c^2+2abc \geq 2a^2+2b^2+2c^2+2ac+2bc-2c$
$⇒2P \geq 2ab+a^2+b^2+2c^2+2ac+2bc-2c$
$⇒2P \geq (a+b+c)^2+(c-1)^2-1 =8+(c-1)^2 \geq 8$
$⇒P \geq 4$
$P_{min}=4$ khi $a=b=c=1$
