a) Ta có:
$AM\perp MN;\, BN\perp MN\quad (gt)$
$\Rightarrow AM//BN$
$\Rightarrow ABNM$ là hình thang vuông tại $M$ và $N$
Ta lại có:
$MN$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $C\quad (gt)$
$\Rightarrow OC\perp MN$
$\Rightarrow OC//AM//BN$
Xét hình thang $ABNM\,\,(AM//BN)$ có:
$OC//AM//BN\quad (cmt)$
$OA = OB = R$
$\Rightarrow CM = CN$
hay $C$ là trung điểm $MN$
b) Ta có:
$\widehat{ACB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow ΔABC$ vuông tại $C$
$\Rightarrow \widehat{HCA} = \widehat{ABC}$ (cùng phụ $\widehat{HCB}$)
Ta lại có: $\widehat{ABC} = \widehat{ACM}$ (cùng chắn $\mathop{AC}\limits^{\displaystyle^\frown}$)
$\Rightarrow \widehat{HCA} = \widehat{ACM}$
Xét $ΔACM$ và $ΔACH$ có:
$\widehat{ACM} =\widehat{ACH}\quad (cmt)$
$\widehat{M} = \widehat{H} = 90^\circ$
$AC:$ cạnh chung
Do đó $ΔACM = ΔACH$ (cạnh huyền - góc nhọn)
$\Rightarrow AM = AH$
Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được:
$ΔBCN = ΔBCH$ (cạnh huyền - góc nhọn)
$\Rightarrow BN = BH$
Áp dụng hệ thức lượng trong $ΔABC$ vuông tại $C$ đường cao $AH$ ta được:
$\quad AH.BH = CH^2$
$\Leftrightarrow AM.BN = CH^2$
